math — 数学函数¶
此模块提供了对 C 标准定义的数学函数的访问。
这些函数不能用于复数；如果需要支持复数，请使用 cmath 模块中相同名称的函数。 之所以要区分支持复数的函数和不支持复数的函数，是因为大多数用户不想学习理解复数所需的那么多数学知识。接收到异常而不是复数结果，可以更早地检测到用作参数的意外复数，以便程序员可以确定它最初是如何以及为什么生成的。
此模块提供以下函数。 除非另有明确说明，否则所有返回值均为浮点数。
数论与表示函数¶
- math.ceil(x)¶
返回 x 的上限，即大于或等于 x 的最小整数。 如果 x 不是浮点数，则委托给
x.__ceil__，它应该返回一个Integral值。
- math.comb(n, k)¶
返回从 n 个项中选取 k 个项的方法数，不重复且无序。
当
k <= n时，其值为n! / (k! * (n - k)!)，当k > n时，其值为零。也称为二项式系数，因为它等价于
(1 + x)ⁿ的多项式展开式中第 k 项的系数。如果任一参数不是整数，则引发
TypeError。 如果任一参数为负数，则引发ValueError。3.8 版新增。
- math.copysign(x, y)¶
返回一个浮点数，其大小（绝对值）为 x，但符号为 y。 在支持带符号零点的平台上，
copysign(1.0, -0.0)返回 -1.0。
- math.fabs(x)¶
返回 x 的绝对值。
- math.factorial(n)¶
以整数形式返回 n 的阶乘。 如果 n 不是整数或为负数，则引发
ValueError。3.9 版后已弃用: 不建议接受具有整数值的浮点数（如
5.0）。
- math.floor(x)¶
返回 x 的下限，即小于或等于 x 的最大整数。 如果 x 不是浮点数，则委托给
x.__floor__，它应该返回一个Integral值。
- math.fmod(x, y)¶
返回
fmod(x, y)，由平台 C 库定义。 请注意，Python 表达式x % y可能不会返回相同的结果。 C 标准的意图是，对于某个整数 n，fmod(x, y)恰好（数学上；无限精度）等于x - n*y，这样结果的符号与 x 相同，并且大小小于abs(y)。 Python 的x % y返回的结果符号为 y，并且对于浮点参数可能无法精确计算。 例如，fmod(-1e-100, 1e100)为-1e-100，但 Python 的-1e-100 % 1e100的结果为1e100-1e-100，它不能精确地表示为浮点数，并且舍入为令人惊讶的1e100。 出于这个原因，函数fmod()通常在处理浮点数时更受欢迎，而 Python 的x % y在处理整数时更受欢迎。
- math.frexp(x)¶
以对
(m, e)的形式返回 x 的尾数和指数。 m 是一个浮点数，e 是一个整数，使得x == m * 2**e精确成立。 如果 x 为零，则返回(0.0, 0)，否则0.5 <= abs(m) < 1。 这用于以可移植的方式“分离”浮点数的内部表示。
- math.fsum(iterable)¶
返回可迭代对象中值的精确浮点数之和。 通过跟踪多个中间部分和来避免精度损失。
该算法的精度取决于 IEEE-754 算术保证以及舍入模式为半偶数的典型情况。在一些非 Windows 版本中，底层 C 库使用扩展精度加法，并且偶尔会对中间和进行双重舍入，导致其最低有效位出现偏差。
有关进一步讨论和两种替代方法，请参阅 ASPN 食谱，了解精确的浮点求和。
- math.gcd(*integers)¶
返回指定整数参数的最大公约数。如果任何参数不为零，则返回值是所有参数的最大公约数。如果所有参数都为零，则返回值为
0。不带参数的gcd()返回0。3.5 版新增。
3.9 版更改: 添加了对任意数量参数的支持。以前只支持两个参数。
- math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)¶
如果值 *a* 和 *b* 相近，则返回
True，否则返回False。两个值是否被认为相近是根据给定的绝对和相对容差来确定的。
*rel_tol* 是相对容差 - 它是 *a* 和 *b* 之间允许的最大差值，相对于 *a* 或 *b* 的较大绝对值。例如，要设置 5% 的容差，请传递
rel_tol=0.05。默认容差为1e-09，这确保了这两个值在约 9 位小数以内是相同的。*rel_tol* 必须大于零。*abs_tol* 是最小绝对容差 - 对于接近零的比较很有用。*abs_tol* 必须至少为零。
如果没有错误发生，结果将是：
abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)。IEEE 754 特殊值
NaN、inf和-inf将根据 IEEE 规则进行处理。具体来说，NaN不被认为与任何其他值接近，包括NaN本身。inf和-inf只被认为与自身接近。3.5 版新增。
另请参阅
PEP 485 - 用于测试近似相等的函数
- math.isfinite(x)¶
如果 *x* 既不是无穷大也不是 NaN，则返回
True，否则返回False。（请注意，0.0*被* 视为有限的。）3.2 版新增。
- math.isinf(x)¶
如果 *x* 是正无穷大或负无穷大，则返回
True，否则返回False。
- math.isnan(x)¶
如果 *x* 是 NaN（非数字），则返回
True，否则返回False。
- math.isqrt(n)¶
返回非负整数 *n* 的整数平方根。这是 *n* 的精确平方根的向下取整，或者等效地说是最大的整数 *a*，使得 *a*² ≤ *n*。
对于某些应用，使用最小的整数 *a* 使得 *n* ≤ *a*² 可能更方便，或者换句话说，使用 *n* 的精确平方根的向上取整。对于正数 *n*，可以使用
a = 1 + isqrt(n - 1)来计算。3.8 版新增。
- math.lcm(*integers)¶
返回指定整数参数的最小公倍数。如果所有参数都不为零，则返回值是所有参数的最小公倍数。如果任何参数为零，则返回值为
0。不带参数的lcm()返回1。3.9 版新增。
- math.modf(x)¶
返回 *x* 的小数部分和整数部分。两个结果都带有 *x* 的符号，并且都是浮点数。
- math.nextafter(x, y, steps=1)¶
返回 *x* 在 *steps* 步后朝向 *y* 的浮点值。
如果 *x* 等于 *y*，则返回 *y*，除非 *steps* 为零。
示例
math.nextafter(x, math.inf)向上：朝向正无穷大。math.nextafter(x, -math.inf)向下：朝向负无穷大。math.nextafter(x, 0.0)朝向零。math.nextafter(x, math.copysign(math.inf, x))远离零。
另请参阅
math.ulp()。3.9 版新增。
版本 3.12 中的变化： 添加了 steps 参数。
- math.perm(n, k=None)¶
返回从 n 个项目中选择 k 个项目（不重复且有序）的方式数。
当
k <= n时，结果为n! / (n - k)!，当k > n时，结果为零。如果未指定 k 或 k 为
None，则 k 默认为 n，函数返回n!。如果任一参数不是整数，则引发
TypeError。 如果任一参数为负数，则引发ValueError。3.8 版新增。
- math.prod(iterable, *, start=1)¶
计算输入 iterable 中所有元素的乘积。乘积的默认 start 值为
1。当 iterable 为空时，返回起始值。此函数专门用于数值，可能会拒绝非数值类型。
3.8 版新增。
- math.remainder(x, y)¶
返回 x 关于 y 的 IEEE 754 风格余数。对于有限 x 和有限非零 y，这是差值
x - n*y，其中n是最接近商x / y的确切值的整数。如果x / y恰好在两个连续整数的中间，则使用最接近的 偶数 整数作为n。因此，余数r = remainder(x, y)始终满足abs(r) <= 0.5 * abs(y)。特殊情况遵循 IEEE 754：特别是，对于任何有限 x，
remainder(x, math.inf)为 x，并且对于任何非 NaN x，remainder(x, 0)和remainder(math.inf, x)会引发ValueError。如果余数运算的结果为零，则该零的符号与 x 相同。在使用 IEEE 754 二进制浮点数的平台上，此操作的结果始终是精确可表示的：不会引入舍入误差。
3.7 版新增。
- math.sumprod(p, q)¶
返回两个可迭代对象 p 和 q 中的值的乘积之和。
如果输入的长度不同，则引发
ValueError。大致相当于
sum(itertools.starmap(operator.mul, zip(p, q, strict=True)))
对于浮点数和混合整数/浮点数输入，中间乘积和总和使用扩展精度计算。
3.12 版新增。
- math.trunc(x)¶
返回移除小数部分后的 x，保留整数部分。这将向 0 进行舍入：对于正 x，
trunc()等效于floor()，对于负 x，等效于ceil()。如果 x 不是浮点数，则委托给x.__trunc__，后者应返回一个Integral值。
- math.ulp(x)¶
返回浮点数 x 的最低有效位的値
如果 x 是 NaN（非数字），则返回 x。
如果 x 为负数，则返回
ulp(-x)。如果 x 是正无穷大，则返回 x。
如果 x 等于零，则返回最小的正 非规范化 可表示浮点数（小于最小的正 规范化 浮点数，
sys.float_info.min）。如果 x 等于最大的正可表示浮点数，则返回 x 的最低有效位的値，使得小于 x 的第一个浮点数为
x - ulp(x)。否则（x 是一个正有限数），返回 x 的最低有效位的値，使得大于 x 的第一个浮点数为
x + ulp(x)。
ULP 代表“最后一位的单位”。
另请参阅
math.nextafter()和sys.float_info.epsilon。3.9 版新增。
请注意，frexp() 和 modf() 的调用/返回模式与其 C 语言对应函数不同：它们接受一个参数并返回一对值，而不是通过“输出参数”（Python 中没有这种东西）返回其第二个返回值。
对于 ceil()、floor() 和 modf() 函数，请注意，*所有* 足够大的浮点数都是精确的整数。Python 浮点数通常最多携带 53 位精度（与平台 C 双精度类型相同），在这种情况下，任何满足 abs(x) >= 2**52 的浮点数 *x* 必然没有小数位。
幂函数和对数函数¶
- math.cbrt(x)¶
返回 *x* 的立方根。
在 3.11 版本中添加。
- math.exp(x)¶
返回 *e* 的 *x* 次幂，其中 *e* = 2.718281… 是自然对数的底数。这通常比
math.e ** x或pow(math.e, x)更准确。
- math.exp2(x)¶
返回 *2* 的 *x* 次幂。
在 3.11 版本中添加。
- math.expm1(x)¶
返回 *e* 的 *x* 次幂，减 1。这里 *e* 是自然对数的底数。对于较小的浮点数 *x*，
exp(x) - 1中的减法可能会导致显著的精度损失；expm1()函数提供了一种以全精度计算此数量的方法。>>> from math import exp, expm1 >>> exp(1e-5) - 1 # gives result accurate to 11 places 1.0000050000069649e-05 >>> expm1(1e-5) # result accurate to full precision 1.0000050000166668e-05
3.2 版新增。
- math.log(x[, base])¶
使用一个参数时，返回 *x* 的自然对数（以 *e* 为底）。
使用两个参数时，返回 *x* 以给定 *base* 为底的对数，计算方式为
log(x)/log(base)。
- math.log1p(x)¶
返回 *1+x* 的自然对数（以 *e* 为底）。结果的计算方式对于接近零的 *x* 是准确的。
- math.log2(x)¶
返回 *x* 的以 2 为底的对数。这通常比
log(x, 2)更准确。在 3.3 版本中添加。
另请参阅
int.bit_length()返回以二进制表示整数所需的位数，不包括符号位和前导零。
- math.log10(x)¶
返回 *x* 的以 10 为底的对数。这通常比
log(x, 10)更准确。
- math.pow(x, y)¶
返回
x的y次幂。特殊情况尽可能遵循 IEEE 754 标准。特别是，pow(1.0, x)和pow(x, 0.0)总是返回1.0，即使x是零或 NaN。如果x和y都是有限的，x是负数，并且y不是整数，则pow(x, y)未定义，并引发ValueError。与内置的
**运算符不同，math.pow()会将其两个参数都转换为float类型。使用**或内置的pow()函数来计算精确的整数幂。在 3.11 版本中变更: 特殊情况
pow(0.0, -inf)和pow(-0.0, -inf)已更改为返回inf而不是引发ValueError，以便与 IEEE 754 保持一致。
- math.sqrt(x)¶
返回 *x* 的平方根。
三角函数¶
- math.acos(x)¶
返回 *x* 的反余弦值，以弧度为单位。结果介于
0和pi之间。
- math.asin(x)¶
返回 *x* 的反正弦值，以弧度为单位。结果介于
-pi/2和pi/2之间。
- math.atan(x)¶
返回 *x* 的反正切值，以弧度为单位。结果介于
-pi/2和pi/2之间。
- math.atan2(y, x)¶
返回
atan(y / x)，以弧度为单位。结果介于-pi和pi之间。从原点到点(x, y)的平面向量与正 X 轴形成此角度。atan2()的意义在于它知道两个输入的符号，因此它可以计算出角度所在的正确象限。例如，atan(1)和atan2(1, 1)都是pi/4，但atan2(-1, -1)是-3*pi/4。
- math.cos(x)¶
返回 x 弧度的余弦值。
- math.dist(p, q)¶
返回两点 p 和 q 之间的欧几里得距离，每个点都以坐标序列（或可迭代对象）给出。两点必须具有相同的维度。
大致相当于
sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q)))
3.8 版新增。
- math.hypot(*coordinates)¶
返回欧几里得范数，
sqrt(sum(x**2 for x in coordinates))。这是从原点到由坐标给定的点的向量长度。对于二维点
(x, y)，这相当于使用勾股定理计算直角三角形的斜边，sqrt(x*x + y*y)。版本 3.8 中的变化： 增加了对 n 维点的支持。以前只支持二维情况。
版本 3.10 中的变化： 提高了算法的精度，最大误差小于 1 ulp（最后一位的单位）。更典型的是，结果几乎总是正确舍入到 1/2 ulp 以内。
- math.sin(x)¶
返回 x 弧度的正弦值。
- math.tan(x)¶
返回 x 弧度的正切值。
角度转换¶
- math.degrees(x)¶
将角度 x 从弧度转换为度数。
- math.radians(x)¶
将角度 x 从度数转换为弧度。
双曲函数¶
双曲函数 是三角函数的类似物，它们基于双曲线而不是圆。
- math.acosh(x)¶
返回 x 的反双曲余弦值。
- math.asinh(x)¶
返回 x 的反双曲正弦值。
- math.atanh(x)¶
返回 x 的反双曲正切值。
- math.cosh(x)¶
返回 x 的双曲余弦值。
- math.sinh(x)¶
返回 x 的双曲正弦值。
- math.tanh(x)¶
返回 x 的双曲正切值。
特殊函数¶
- math.erf(x)¶
返回 x 处的 误差函数。
erf()函数可用于计算传统的统计函数，例如 累积标准正态分布def phi(x): 'Cumulative distribution function for the standard normal distribution' return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0
3.2 版新增。
- math.lgamma(x)¶
返回 x 处伽马函数的绝对值的自然对数。
3.2 版新增。
常量¶
- math.pi¶
数学常数 π = 3.141592…，达到可用精度。
- math.e¶
数学常数 e = 2.718281…，达到可用精度。
- math.tau¶
数学常数 τ = 6.283185…，达到可用精度。 Tau 是一个圆周常数，等于 2π，即圆的周长与其半径之比。要了解更多关于 Tau 的信息，请查看 Vi Hart 的视频 Pi is (still) Wrong，并开始通过吃两倍的馅饼来庆祝 Tau 日！
3.6 版新增。
- math.inf¶
浮点正无穷大。（对于负无穷大，请使用
-math.inf。）等效于float('inf')的输出。3.5 版新增。
- math.nan¶
浮点“非数字”(NaN) 值。等效于
float('nan')的输出。由于 IEEE-754 标准 的要求，math.nan和float('nan')不被认为等于任何其他数值，包括它们自己。要检查数字是否为 NaN，请使用isnan()函数来测试 NaN，而不是is或==。示例>>> import math >>> math.nan == math.nan False >>> float('nan') == float('nan') False >>> math.isnan(math.nan) True >>> math.isnan(float('nan')) True
3.5 版新增。
版本 3.11 中的变化： 现在始终可用。
CPython 实现细节：math 模块主要包含对平台 C 数学库函数的简单封装。异常情况下的行为遵循 C99 标准的附录 F（如果适用）。当前实现将针对 sqrt(-1.0) 或 log(0.0) 等无效操作引发 ValueError（其中 C99 附录 F 建议发出无效操作或除以零的信号），并针对溢出的结果（例如，exp(1000.0)）引发 OverflowError。除非一个或多个输入参数是 NaN，否则上述任何函数都不会返回 NaN；在这种情况下，大多数函数将返回 NaN，但（同样遵循 C99 附录 F）此规则有一些例外，例如 pow(float('nan'), 0.0) 或 hypot(float('nan'), float('inf'))。
请注意，Python 不会尝试区分信号 NaN 和静默 NaN，并且信号 NaN 的行为仍未指定。典型行为是将所有 NaN 都视为静默 NaN。
另请参阅
- 模块
cmath 许多这些函数的复数版本。